Poisson-jakauma: näin mallinnat maalit ja tarkan tuloksen

Poisson-jakaumalla muutat kaksi lukua, kotijoukkueen ja vierasjoukkueen maaliodotuksen, koko ottelun todennäköisyystaulukoksi. Kun jokaiselle tarkalle tulokselle lasketaan oma todennäköisyytensä, samasta taulukosta saa johdettua 1X2:n, maalimäärän, molemmat tekevät maalin -markkinan ja tarkan tuloksen hinnat. Laskuun tarvitaan sarjan keskiarvot, joukkueiden hyökkäys- ja puolustusluvut sekä yksi kaava.

Mikä Poisson-jakauma on ja miksi se sopii maaleihin?

Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten, toisistaan riippumattomien tapahtumien lukumäärää kiinteän mittaisella jaksolla. Jalkapallo-ottelussa jakso on 90 minuuttia ja tapahtuma on maali. Jakauma tarvitsee vain yhden luvun, odotusarvon λ (lambda), joka on jakson keskimääräinen tapahtumamäärä.

Todennäköisyys sille, että joukkue tekee tasan k maalia, on

P(k) = λ^k × e^−λ / k!

jossa e on Neperin luku 2,71828 ja k! on kertoma, eli 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Nollan kertoma on määritelmän mukaan yksi.

Maaliodotuksella 1,62 lasku menee näin. Nollan maalin todennäköisyys on e^−1,62 = 19,8 %, yhden maalin 1,62 × e^−1,62 = 32,1 % ja kahden maalin 1,62² × e^−1,62 / 2 = 26,0 %. Kolmelle maalille tulee 14,0 prosenttia ja neljälle 5,7 prosenttia.

Malli sopii jalkapalloon, koska maalit ovat harvinaisia ja jakautuvat otteluun melko tasaisesti. Kaikki oletukset eivät päde täydellisesti, ja siihen palataan lopussa.

Miten lasket joukkueen maaliodotuksen?

Maaliodotus rakennetaan kolmesta osasta: sarjan keskiarvosta, hyökkäävän joukkueen tehokkuudesta ja puolustavan joukkueen tasosta. Koti- ja vierasluvut pidetään erillään, koska kotietu näkyy jo sarjan keskiarvoissa.

Esimerkki käyttää Valioliigan kautta 2024/25 ja ottelua Aston Villa–Manchester United. Villan kotiotteluissa syntyi 34 maalia 19 ottelussa ja se päästi 20. United teki vierailla 21 maalia ja päästi 26.

1. Laske sarjan keskiarvot

   Kaudella pelattiin 380 ottelua. Kotijoukkueet tekivät 575 ja vierasjoukkueet 540 maalia, eli 575 / 380 = 1,513 ja 540 / 380 = 1,421 maalia ottelua kohden.

2. Laske kotijoukkueen hyökkäysluku

   Villan kotimaalit ottelua kohden ovat 34 / 19 = 1,79. Suhteessa sarjan kotikeskiarvoon 1,79 / 1,513 = 1,183. Villa teki kotona 18 prosenttia keskitasoa enemmän.

3. Laske vierasjoukkueen puolustusluku

   United päästi vierailla 26 / 19 = 1,37 maalia ottelussa. Vertailukohta on sarjan kotimaalikeskiarvo, koska nämä maalit tekee kotijoukkue: 1,37 / 1,513 = 0,904.

4. Kerro luvut yhteen

   Kotijoukkueen maaliodotus on hyökkäysluku kertaa vastustajan puolustusluku kertaa sarjan kotikeskiarvo: 1,183 × 0,904 × 1,513 = 1,62.

5. Toista vieraille päinvastoin

   Unitedin vierashyökkäys on (21 / 19) / 1,421 = 0,778 ja Villan kotipuolustus (20 / 19) / 1,421 = 0,741. Vieraiden maaliodotus on 0,778 × 0,741 × 1,421 = 0,82.

Luvut ovat kertoimia keskitasoon nähden, joten ne kertovat suoraan, kuinka paljon joukkue poikkeaa sarjan normaalista. Alle yhden jäävä puolustusluku tarkoittaa keskitasoa tiiviimpää puolustusta ja yli yhden menevä hyökkäysluku keskitasoa tuottavampaa hyökkäystä.

Mistä maaliodotus otetaan kesken kauden?

Valmis kausi on laskuesimerkkinä helppo, koska jokaisella joukkueella on 19 kotiottelua ja 19 vierasottelua. Elokuussa niitä on kaksi, ja silloin hyökkäysluku heittelee villisti. Kolmen ottelun otoksessa yksi 4-0 riittää nostamaan joukkueen sarjan kärkeen keskiarvoissa.

Kaksi tapaa vakauttaa lähtöluvut. Ensimmäinen on painottaa edellisen kauden luvut mukaan ja antaa niille sitä pienempi paino, mitä pidemmälle kausi etenee. Alkukaudesta paino voi olla kaksi kolmasosaa vanhassa datassa, ja loka-marraskuun vaihteessa uusi kausi kantaa jo yksin. Toinen on kutistaa poikkeamat kohti ykköstä: jos kolmen ottelun hyökkäysluku on 1,60, käytännössä realistisempi arvio on jossain 1,60:n ja 1,00:n välissä.

Nousijajoukkueet ovat oma tapauksensa, koska niiden edelliskauden luvut on tehty heikommassa sarjassa. Yksinkertaisin ratkaisu on antaa nousijalle sarjan heikoimman kolmanneksen keskiarvo lähtöarvoksi ja päivittää sitä otteluiden karttuessa.

Miten tarkan tuloksen taulukko rakennetaan?

Kun molemmat maaliodotukset ovat tiedossa, jokaisen tarkan tuloksen todennäköisyys on kahden Poisson-todennäköisyyden tulo. Tulos 2-1 tarkoittaa, että koti tekee tasan kaksi ja vieras tasan yhden maalin, joten P(2-1) = 26,0 % × 36,1 % = 9,4 %.

Sama toistetaan jokaiselle ruudulle. Alla ruudukko välillä 0-4 prosentteina. Rivit ovat Villan maalit ja sarakkeet Unitedin.

Todennäköisin yksittäinen tulos on 1-0 todennäköisyydellä 14,1 prosenttia, jolloin sen reilu kerroin on 7.11. Seuraavina tulevat 1-1 (11,6 %), 2-0 (11,4 %) ja 2-1 (9,4 %). Kolme neljäsosaa koko todennäköisyysmassasta on ruuduissa, joissa kumpikaan ei tee yli kahta maalia, ja ruudukko 0-4 kattaa 97,4 prosenttia lopputuloksista.

Taulukko paljastaa yhden asian, jota pelkkä kerroin ei kerro. Todennäköisimmänkin tuloksen osumatarkkuus jää seitsemäsosaan, joten tarkan tuloksen markkinassa suurin osa vedoista häviää silloinkin, kun malli on oikeassa.

Miten taulukosta johdetaan 1X2, maalimäärä ja BTTS?

Jokainen vedonlyöntimarkkina on jokin alue tästä ruudukosta. Markkinan todennäköisyys saadaan laskemalla alueen ruudut yhteen, ja reilu kerroin on ykkönen jaettuna summalla.

• Kotivoitto on kaikki ruudut, joissa rivinumero on saraketta suurempi, eli lävistäjän alapuoli.
• Tasapeli on lävistäjä: 0-0, 1-1, 2-2 ja niin edelleen.
• Yli 2,5 maalia on kaikki ruudut, joissa rivin ja sarakkeen summa on vähintään kolme.
• Molemmat tekevät maalin on ruudukko ilman ensimmäistä riviä ja ensimmäistä saraketta.

Tässä on mallin käytännön arvo. Yhdestä maaliodotusparista syntyy koko hinnasto, ja kaikki markkinat ovat keskenään yhteensopivia. Kun vertaat näitä lukuja välittäjän hintoihin, näet kerralla, mikä markkina on eniten irrallaan omasta arviostasi. Yksittäisen maalilinjan käsittely ilman koko ruudukkoa on käyty läpi maalimäärän hinnoittelun oppitunnissa.

Ottelu pelattiin 6. lokakuuta 2024 ja päättyi 0-0. Mallin mukaan sen todennäköisyys oli 8,7 prosenttia, eli viidenneksi todennäköisin yksittäinen tulos. Yksi ottelu kertoo mallin osuvuudesta hyvin vähän, koska taulukko kuvaa jakaumaa. Osuvuutta mitataan sadoilla otteluilla.

Kuinka hyvin malli osui koko kaudella?

Mallin voi testata koko sarjalla. Kaudella 2024/25 jokainen joukkue isännöi kaikkia muita kerran, joten 380 ottelun maaliodotukset saa laskettua samalla kaavalla. Kun jokaisen ottelun tasapelitodennäköisyydet lasketaan yhteen, saadaan mallin ennuste kauden tasapelien määrälle.

Ero on systemaattinen ja tunnettu. Riippumattomien Poisson-jakaumien tulo tuottaa liian vähän tasapelejä, koska se olettaa joukkueiden maalimäärien olevan toisistaan riippumattomia. Todellisuudessa ne kytkeytyvät toisiinsa. Johtoasemassa oleva joukkue vetäytyy ja tasoittava maali muuttaa molempien pelitapaa, joten matalat tulokset kasautuvat lävistäjälle mallia enemmän.

Tunnetuin korjaus on Dixon–Colesin menetelmä vuodelta 1997, joka kertoo neljä matalinta ruutua (0-0, 1-0, 0-1 ja 1-1) omilla kertoimillaan ja siirtää painoa tasatuloksiin. Kevyempi tapa on kalibroida korjaus suoraan kausidatasta: kerro mallin tasapelitodennäköisyys luvulla 93 / 84,2 = 1,105 ja normalisoi voittotodennäköisyydet uudelleen. Villa–United-esimerkissä tasapelin 24,8 prosenttia nousee 27,4 prosenttiin ja reilu kerroin laskee 4.04:stä 3.65:een.

Mitä tapahtuu, kun mallia verrataan markkinaan?

Saman laskun voi tehdä toiseen suuntaan. Kun markkinan 1X2-hinnoista poistetaan kate, jäljelle jäävät todennäköisyydet vastaavat tiettyä maaliodotusparia, ja sen parin voi ratkaista numeerisesti. Esimerkkinä Valioliigan Manchester United–Manchester City 13. syyskuuta 2026.

Nordic Betin hinnat 3.15, 3.75 ja 2.12 antavat todennäköisyyksien summaksi 105,6 prosenttia. Kun summa normalisoidaan sataan, vigittömät todennäköisyydet ovat 30,1 prosenttia Unitedille, 25,3 prosenttia tasapelille ja 44,7 prosenttia Citylle. Näitä lukuja vastaava maaliodotuspari on 1,21 kotiin ja 1,53 vieraisiin, eli ottelun kokonaisodotus on 2,73 maalia.

Sitten seuraa kiinnostava osa. Sama välittäjä hinnoitteli 2,5 maalin linjan hinnoilla 1.52 ja 2.55, mikä vastaa yli 2,5 maalille 62,7 prosentin vigitöntä todennäköisyyttä. Mallin maaliodotuspari antaa samalle markkinalle 51,4 prosenttia.

Yksitoista prosenttiyksikköä on liikaa selitettäväksi katteella. Markkinan maalimäärähinta vastaa noin 3,23 maalin kokonaisodotusta, kun 1X2-hinnoista ratkaistu odotus on 2,73. Ero on puoli maalia samasta ottelusta.

Selitys löytyy tasapelistä. Jos ottelun maaliodotukseksi asetetaan markkinan oma 3,23 samassa koti- ja vierassuhteessa, riippumaton Poisson antaa tasapelille 22,9 prosenttia, kun välittäjä hinnoittelee sen 25,3 prosenttiin. Kun 22,9 prosenttia kerrotaan kausidatasta lasketulla korjauksella 1,105, tulokseksi tulee 25,3 prosenttia.

Miten sama malli venyy puoliajoille?

Poisson-jakaumalla on ominaisuus, joka tekee siitä käyttökelpoisen myös lyhyemmille jaksoille: odotusarvo skaalautuu suoraan ajan mukana. Jos koko ottelun maaliodotus on 2,44, puolen ottelun mittaisen jakson odotus on 1,22 ja kymmenen minuutin jakson odotus 2,44 × 10 / 90 = 0,27.

Ensimmäisen puoliajan maalimarkkinat lasketaan siis samalla kaavalla pienemmillä odotusarvoilla. Maaliodotuksilla 0,81 ja 0,41 todennäköisyys maalittomalle ensimmäiselle puoliajalle on e^−1,22 = 29,5 %, jolloin markkinan yli 0,5 maalia reilu kerroin on 1.42.

Yksi korjaus on tarpeen. Jalkapallossa toisella puoliajalla syntyy enemmän maaleja kuin ensimmäisellä, koska väsymys, vaihdot ja tuloksen pakottama riskinotto kasvattavat tahtia loppua kohden. Tasajako puolittaa maaliodotuksen väärin ja tuottaa ensimmäiselle puoliajalle liian korkean arvion. Sama ilmiö näkyy ottelun sisäisessä hinnoittelussa: minuuttikohtainen maalitodennäköisyys nousee loppua kohti, joten korjaamaton aikaskaalaus yliarvioi alkuhetket ja aliarvioi loppuhetket.

Missä malli toimii ja missä se pettää?

Kolme virhettä toistuu useimmin. Ensimmäinen on koti- ja vieraslukujen sekoittaminen, sillä hyökkäys- ja puolustuslukujen on tultava samasta kontekstista kuin laskettava ottelu. Toinen on liian pieni otos: alle kymmenen ottelun luvut heiluvat rajusti, ja alkukaudesta edellisen kauden lukuja kannattaa painottaa mukaan. Kolmas on tarkan tuloksen kertoimien vertaaminen suoraan mallin lukuihin ilman katteen poistoa, jolloin markkinan 8-12 prosentin kate näyttäytyy mallin etuna.

Mitä tästä jää käteen

Poisson-malli on kolmen luvun laskutoimitus: sarjan keskiarvo, hyökkäysluku ja puolustusluku. Niistä syntyy maaliodotuspari, siitä tarkan tuloksen ruudukko ja siitä kaikkien markkinoiden reilut hinnat. Työkalun arvo on siinä, että se pakottaa markkinat samalle viivalle ja näyttää, mikä niistä poikkeaa eniten omasta arviostasi.

Korjaamaton malli antaa tasapelille noin kymmenen prosenttia liian vähän painoa. Kun sen tietää ja korjaa, mallin luvut asettuvat lähelle markkinan omia hintoja, ja jäljelle jäävät erot ovat niitä, joita kannattaa tutkia tarkemmin.

← Kaikki jutut